Nekonečno

Nekonečno slova přijde z latiny infinitas nebo “unboundedness”. To se odkazuje na několik zřetelných pojetí, která vyvstávají v teologii, filozofii, matematice a každodenním životě. Populární nebo hovorové použití termínu často nesouhlasí s jeho více technickými významy.

V teologii, například v práci bohoslovců takový jako Duns Scotus, nekonečná povaha boha se odvolá na smysl pro bytí bez omezení, spíše než smysl pro bytí neomezený v velkém množství. Ve filozofii, nekonečno může být přičítáno prostoru a času, jak například v Kant je první protiklad. V jak teologii tak filozofii, nekonečno je prozkoumáno v článkách takový jak Ultimate, Absolute, bůh, a Zenovy paradoxy.

V matematice, nekonečno (?) je významný k, nebo obsah, články takové jak matematické limity, aleph čísla, třídy v teorii množin, Dedekind-nekonečné množiny, velcí kardinálové, Russellův paradox, hyperreal čísla, geometrie projective, prodloužená reálná čísla a absolute Infinite. Někteří^{[pochvalná zmínka   potřebovaný]}, nekonečno je zvažováno být ne číslo ale představa o zvýšení za hranicemi.

V populární kultuře, my máme zvučný světelný rok je výzva k soutěži, “do nekonečna — a za!”, který může také být viděn jako výzva k soutěži teoretiků souboru zvažovat velké kardinály.¹

Pro diskuzi o nekonečnu a fyzickém vesmíru, viďte vesmír.

Historie

Brzy indické pohledy na nekonečno

Nejdříve známá dokumentovaná znalost nekonečna byla představována ve starověké Indii v Yajur Veda (c. 1200 – 900 př.n.l.) který řekne to “jestliže vy odstraníte část z nekonečna nebo přidáte část k nekonečnu, ještě co zůstane je nekonečno”.

Ind Jaina matematický text Surya Prajnapti (c. 400 př.n.l.) třídí všechna čísla do tří souborů: enumerable, nespočetný a nekonečný. Každý tito byli dále rozdělil do tří objednávek:

• Enumerable: nejnižší, střední a nejvyšší.
• Nespočetný: téměř nespočetný, opravdově nespočetný a innumerably nespočetný.
• Nekonečný: téměř nekonečný, opravdově nekonečný, nekonečně nekonečný.

Jains byl první odhazovat názor, že všechny infinites byly stejné nebo se rovnat. Oni rozpoznali pět různých druhů nekonečna: nekonečný v jednom a dva směry (jeden rozměr), nekonečný na plochu (dva rozměry), nekonečný všude (tři rozměry), a nekonečný trvale (nekonečný počet rozměrů).

Podle Singha (1987), Joseph (2000) a Agrawal (2000), nejvyšší enumerable číslo N Jains odpovídá modernímu pojetí aleph-nula (kardinální číslo nekonečného souboru celých čísel 1, 2,...), nejmenší kardinál transfinite číslo. Jains také definoval celý systém nekonečných kardinálních čísel, který nejvyšší enumerable číslo N je nejmenší.

V Jaina pracuje na teorii souborů, dva základní druhy nekonečných čísel jsou rozlišovány. Na obou fyzických a ontologických pozemkách, rozdíl byl dělán mezitím asmkhyata a ananata, mezi tuze ohraničený a volně skákal infinities.

Brzy evropské pohledy na nekonečno

V Evropě, tradiční pohled pochází z Aristotlea:

#rquote... to je vždy možné myslet na větší číslo: pro množství časů velikost moci být půlen je nekonečný. Proto nekonečný je potenciální, nikdy skutečný; množství částí, které mohou být vzaty vždy předčí nějaké přiřazené číslo.” [207b8 fyziky]

Toto je často nazýváno potenciálním nekonečnem; nicméně jsou tam dva nápady smíchané s tímto. Jeden je že to je vždy možné najít množství věcí to předčí nějaký daný počet, dokonce jestliže tam nejsou vlastně takové věci. Jiný je že my můžeme počítat přes nekonečné množiny bez omezení. Například, , který čte, “pro nějaké celé číslo n, tam existuje celé číslo m > n takový to P (m)”. Druhý pohled je nalezený v jasnější formě středověkými spisovateli takový jako William Ockham:

Ale každé kontinuum je vlastně existující. Proto některý jeho částí je opravdu existující v přírodě. Ale díly kontinua jsou nekonečné protože tam být ne tak mnoho to tam být ne více, a proto nekonečné části jsou vlastně existující.

Části jsou vlastně tam, v někteří cítí. Nicméně, na této výstavě, žádná nekonečná velikost může mít číslo, pro kterékoliv číslo my můžeme představit si, tam je vždy nějaký větší: “tam být ne tak mnoho (v čísle) to tam být už žádná”. Aquinas také namítal proti názoru, že nekonečno mohlo být v nějakém smyslu kompletní, nebo celek.

Výhledy z renesance k moderní době

Galileo (během jeho dlouhého domu zastavit v Siena po jeho zavržení inkvizicí) byl první poznamenat, že my můžeme umístit nekonečnou množinu do osobní korespondence s jedním z jeho vlastních podmnožin (nějaká část souboru, to není celek). Například, my můžeme sladit “soubor” sudých čísel {2, 4, 6, 8...} s přirozenými čísly {1, 2, 3, 4...} takto:

1, 2, 3, 4,...

2, 4, 6, 8,...

To vypadalo, touto úvahou, jak ačkoli soubor, který je přirozeně menší než soubor kterého to je část (protože to neobsahuje všechny členy toho souboru) je v nějakém smyslu stejná velikost. On si myslel, že toto bylo jeden z obtíží, které vyvstávají, když my se snažíme, “s našimi konečnými myslemi”, pochopit nekonečný.

“Doposud jak já vidím, že my můžeme jen odvozovat, že celek všech čísel je nekonečný, že množství čtverců je nekonečné, a že množství jejich kořenů je nekonečné; žádný je množství čtverců méně než celek všech čísel, ani latter větší než bývalý; a konečně atributy “se rovnají”, “větší”, a “méně”, být nevhodný k nekonečný, ale jediný k konečný, kvantity.” [Na dvou nových vědách, 1638]

Názor, že velikost může být změřena osobní korespondencí je dnes známý jako princip Humea, ačkoli Hume, jako Galileo, věřil princip nemohl být aplikován na nekonečné množiny.

Locke, v obyčejný se většinou empiricist filozofů, také věřil, že my můžeme mít žádnou pořádnou myšlenku nekonečný. Oni věřili všem naše nápady byly odvozeny z dat smyslu nebo “dojmů” a od všech smyslové dojmy jsou neodmyslitelně konečné, tak příliš být naše myšlenky a nápady. Naše myšlenka na nekonečno je pouze negativní nebo privative.

“Kterákoliv pozitivní nápady, které my máme v našich myslích nějakého prostoru, trvání nebo čísle, nechat je být nikdy tak velký, oni jsou ještě koneční; ale když my předpokládáme nevyčerpatelný remainder, od kterého my odstraníme všechny hranice a wherein my poskytneme mysli nekonečný průběh myšlenky, bez někdy dokončovat nápad, tam my máme naši myšlenku na nekonečno... přesto když my bychom sestavili v našich myslích myšlenka na nekonečný vesmír nebo trvání, ten nápad je velmi temný a zmatený, protože to je tvořeno dvou částí velmi odlišný, jestliže ne rozporuplný. Pro nechal rám muže v jeho mysli myšlenka na nějaký prostor nebo číslo, jak velký jak on chtít, to je jasné mysl se opírá a končí tím nápadem; který je opačný k myšlence na nekonečno, který spočívá v předpokládaném nekonečném průběhu.” (Esej, II. xvii. 7., důraz autora)

Skvěle, krajní-empiricist Hobbes pokusil se bránit myšlenku na potenciální nekonečno ve světle objevu, Evangelista Torricelli, čísla (Gabrielův roh) jehož plocha povrchu je nekonečná, ale jehož hlasitost je konečná. Ne reportoval, tato motivace Hobbes přišla příliš pozdě jako křivky mít nekonečnou délku přesto bounding konečné oblasti byly znány hodně předtím. Takové zdánlivé paradoxy jsou rozděleny tím, že odečte nějaké konečné číslo a natáhne jeho obsah nekonečně v jednom směru; velikost jeho obsahu je nezměněná jak jeho divize klesají geometricky, ale velikost jeho hranic se zvětší na nekonečno nutností. Možnost spočívá v definicích této operace, jak přesně stanovený a interconsistent matematické axiómy. Potenciální nekonečno je dovoleno pouštěním nekonečně-velké množství být vyrovnán nekonečně-malé množství.

Moderní filozofické názory

Moderní diskuze nekonečný je nyní považován za část teorie množin a matematiky. Tato diskuze je obecně rušena filozofy. Výjimka byla Wittgenstein, kdo dělal vášnivý útok na axiomatické teorii množin, a na nápadu skutečný nekonečný, během jeho “středního období”.²

“Dělá vztah m = 2n sladí třídu všech čísel s jedním z jeho podtříd? Ne. To sladí nějaké libovolné číslo s jiným a v té cestě my přijdeme k nekonečně mnoho párů tříd, který jeden je slazen s jiný, ale který být nikdy příbuzný jako třída a podtřída. Žádný je tento nekonečný proces sám v nějakém smyslu nebo jiný takový pár tříd... V pověře to m = 2n sladí třídu s jeho podtřídou, my pouze máme ještě jeden případ dvojznačné gramatiky.” (Filozofické poznámky § 141, cf Filozofická gramatika p. 465)

Na rozdíl od tradičních empiricists, on si myslel, že nekonečný byl nějakým způsobem daný zážitku smyslu.

#rquote... Já mohu vidět ve vesmíru možnost nějakého konečného zážitku... my rozpoznáme [] základní nekonečno prostoru v jeho nejmenší části.” “[čas] je nekonečný ve stejném smyslu jak tři -rozměrný doba zraku a hnutí je nekonečná, dokonce jestliže ve skutečnosti já mohu jen vidět jak daleko jako zdi mého pokoje.”

#rquote... co je nekonečné o endlessness je jen endlessness sám.”

Symbol nekonečna

Přesné původy symbolu nekonečna? být nejasný. Jedna možnost je navrhnuta podle jména to je někdy nazvané — lemniscate, od latiny lemniscus, znamenat “pásku”. Jeden může představovat si, jak jde navždy podél jednoduché smyčky tvořené od pásky.

Populární vysvětlení je že symbol nekonečna je odvozen z tvaru Möbius pás. Znovu, jeden může představovat si, jak jde podél jeho povrchu navždy. Nicméně, toto vysvětlení je nepravděpodobné od té doby, co symbol byl v použití reprezentovat nekonečno pro přes dvě sta roků před Augustem Ferdinandem Möbius a výpis Johanna Benedicta objevil Möbius pás v 1858.

To je také možné, že to je inspirováno starší náboženský/alchymistický symbolizmus. Například, to bylo nalezené v tibetských rockových řezbářských pracích a ouroboros, nebo had nekonečna, je často líčen v tomto tvaru. V tarot, lemniscate reprezentuje rovnováhu sil a je často spojován s kartou kouzelníka.

John Wallis je obvykle připočítán s představovat? jako symbol pro nekonečno v 1655 v jeho De conicus sectionibus. Jeden dohad o proč on si vybral tento symbol je že on čerpal to z římské číslice pro 1000 to bylo v otočení odvozeném z Etruscan číslice pro 1000, který vypadal poněkud jako CIƆ a byl někdy používán mínit “mnoho”. Další dohad je že on čerpal to z řeckého dopisu? (omega), poslední písmeno v řecké abecedě.

Symbol nekonečna je reprezentován v Unicode charakterem? (U + 221E).

Matematické nekonečno

Nekonečno je stav bytí větší než některý konečný (skutečné) číslo nicméně velký.

Nekonečno ve skutečné analýze

Ve skutečné analýze, symbol , volal “nekonečno”, naznačuje nespoutaný limit. znamená to x roste za některým přiřadil hodnotu, a prostředky x je nakonec méně než některý přiřadil hodnotu. Body značený a moci být přidán k reálným číslům jako prostor topological, produkovat dva-poukážou compactification reálných čísel. Přidávat algebraické vlastnosti k tomuto dá nám prodloužená reálná čísla. My můžeme také zpracovávat a jak stejný, vést k jeden-poukážou compactification reálných čísel, který je skutečná projective linka. Projective geometrie také představí linku u nekonečna v rovinné geometrii, a tak dále pro vyšší rozměry.

Nekonečno je často používáno ne jen aby definoval limit ale jak jestliže to bylo hodnota v prodloužených reálných číslech ve skutečné analýze; jestliže f(t)? 0 pak

• znamená to f(t) dělá ne svázal konečnou oblast od 0 k 1
• znamená to oblast dolů f(t) je nekonečný
• znamená to oblast dolů f(t) se rovná 1

Nekonečno v komplexním rozboru

Jak ve skutečné analýze, v komplexním rozboru symbol , volal “nekonečno”, naznačuje nespoutaný limit. znamená to velikost | x | x roste za některým přiřadil hodnotu. Bod značený moci být přidán ke komplexnímu letadlu jako prostor topological dávat jeden-bod compactification komplexního letadla. Když toto je děláno, výsledný prostor je ještě jednorozměrný komplex různý a volal prodloužené komplexní letadlo nebo Riemann kouli. V tomto kontext je často užitečný zvažovat meromorphic funkce jako mapy do Riemann koule brát hodnotu u tyčí. Doména komplexu-oceněná funkce může být rozšířena zahrnovat nevlastní bod také. Jeden důležitý příklad takových funkcí je skupina Möbius transformace.

Infinities jako součást prodloužené skutečné číselné linky

Nekonečno je ne reálné číslo ale smět být považován za část prodloužené skutečné číselné linky, ve kterých aritmetických operacích nekonečno zahrnutí může být vykonáváno. V tomto systému, nekonečno má následující aritmetické vlastnosti:

Nekonečno s sebou

Operace nekonečna s reálnými čísly

Jestliže pak

Jestliže pak

Nedefinované operace

Poznamenat to není ekvivalent k . Jestliže sekunda byla pravdivá, to by muselo být pravdivý pro každý x, a, transitivity se rovná vztah, všechna čísla byla by se rovnat. Toto je co je znamenáno být undefined, nebo neurčitý.

Infinities v nonstandard analýze

Formulace originálu počtu Newton a Leibniz používal nekonečně malá množství. Ve dvacátém století, to bylo ukazováno že tato léčba mohla být dána na pečlivém základě přes různé logické systémy, zahrnování hladkého nekonečně malého rozboru a analýzu nonstandard. V latter, infinitesimals invertible a jejich inverses jsou nekonečné počty. Infinities v tomto smyslu jsou část celého pole; není tam žádná rovnocennost mezi nimi jak s Cantorian transfinites například jestliže H je nekonečný počet, pak H + H = 2H, a H + 1 jsou různé nekonečné počty.

Nekonečno v teorii množin

Různý druh “nekonečna” být pořadový a hlavní infinities teorie množin. Georg Cantor vyvinul systém transfinite čísel, ve kterém první kardinál transfinite aleph-nula (), mohutnost souboru přirozených čísel. Toto moderní matematické pojetí kvantitativní nekonečný rozvinutý v pozdní devatenácté století z práce Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind a jiní, používat myšlenku na sbírky nebo soubory. Dedekind přístup byl nezbytně přijmout myšlenku na osobní korespondenci jako standard pro srovnávat velikost souborů, a odmítnout pohled na Galileo (který pocházel z Euclida) že celek nemůže být stejný velikost jako část. Nekonečná množina může prostě být definována jako jedno vlastnění stejné velikosti jak přinejmenším jeden z jeho “pořádných” částí; toto ponětí o nekonečnu je nazýváno Dedekind nekonečný.

Cantor definoval dva druhy nekonečných počtů, řadové číslovky a číslovky základní. Řadové číslovky mohou být poznány se studnou-uspořádané sady nebo počítání pokračovali do nějaké brzdné úrovně, obsahující body po nekonečném počtu už byly spočtené. Zevšeobecňovat konečný a obyčejné nekonečné sekvence, které jsou mapy od pozitivních celých čísel vede k mappings od řadových číslovek a sekvencí transfinite. Kardinální čísla definují velikost souborů, znamenat kolik členů, které oni obsahují, a moci být normalizován tím, že si vybere první řadovou číslovku jisté velikosti reprezentovat kardinální číslo té velikosti. Nejmenší pořadové nekonečno je to pozitivních celých čísel, a nějaký soubor, který má mohutnost celých čísel je countably nekonečný. Jestliže soubor je příliš velký být vložil jednoho k jedné korespondenci s pozitivními celými čísly, to je voláno uncountable. Cantorovy názory převažovaly a moderní matematika přijímá aktuální nekonečno. Jisté prodloužené číselné systémy, takový jak hyperreal čísla, včlenit obyčejný (konečná) čísla a nekonečné počty různých velikostí.

Naše intuice získaná od konečných množin se porouchá když se zabývá nekonečnými množinami. Jeden příklad tohoto je paradox Hilberta velkého hotelu.

Matematika bez nekonečna

Leopold Kronecker odmítl názor nekonečna a začal myšlenkový směr, v filozofie matematiky volala finitism, který vedl k filozofické a matematické škole matematického constructivism.

Použití nekonečna v obyčejné řeči

V prosté řeči, nekonečno je často používáno v hyperbolickém smyslu. Například, “film byl nekonečně nudný, ale my jsme měli k vyčkávání navždy dostat lístky.”

V videohrách, nekonečné životy a nekonečná munice odkazovat se na nekonečnou zásobu životů a munice. Nekonečná smyčka v programování počítače je podmíněná smyčková stavba jehož podmínka vždy ocení k pravdivý. Teoreticky, jak dlouho jak není tam žádné externí vzájemné ovlivňování, smyčka bude pokračovat k boji o celý čas. V praxi nicméně, některé programovací smyčky považované za nekonečnou vůli se zastaví rozsahem překročení (konečného) množství jednoho z jeho proměnných. Viďte váhavý problém. Tyto požadavky popisují věci, které jsou jediný potenciální infinities; to je nemožné zahrát videu hru pro nekonečné časové období nebo nechat počítač se ucházet o nekonečné časové období.

Číselný Infinity plus 1 je také používán někdy v obyčejné řeči.

Fyzické nekonečno

Ve fyzice, aproximace reálných čísel jsou užité na neustálá měření a přirozená čísla jsou užitá na jednotlivá měření (tj. počítat). To je proto převzato fyziky že žádné měřitelné množství mohlo mít nekonečnou hodnotu, například tím, že vezme nekonečnou hodnotu v prodlouženém skutečném číselném systému (vidět také: hyperreal číslo), nebo tím, že žádá počítání od nekonečného počtu událostí. To je například předpokládal nemožný pro nějaké tělo mít nekonečnou masu nebo nekonečnou energii. Tam existuje představa o nekonečných entitách (takový jako nekonečná rovinná vlna) ale nejsou tam žádné prostředky tvořit takové věci. Podobně, stroje stálého pohybu teoreticky produkovat nekonečnou energii tím, že dosáhne 100 % efektivita nebo větší, a emulovat každý představitelný otevřený systém; nemožné problém následuje vědění že výstup je vlastně nekonečný když zdroj nebo mechanismus překoná některého známý a rozuměl systém.

To by mělo být poukázal na to tato praxe odmítání nekonečné hodnoty pro měřitelná množství nepřijde z a priori nebo ideologické motivations, ale poněkud od více metodologických a pragmatických motivations. Jeden z potřeb nějakých fyzických a vědeckých therory má dávat použitelné rovnice, které odpovídají nebo přinejmenším se přiblížit realitě. Jako příklad jestliže nějaký předmět nekonečné gravitační hmoty byl existovat, nějaké použití rovnice počítat gravitační síla by vedla k nekonečnému výsledku, který byl by žádné výhody protože výsledek by byl vždy stejný bez ohledu na pozici a množství jiného objektu. Rovnice by byla užitečná žádný počítat sílu mezi dvěma předměty konečné hmoty ani počítat jejich pohyby. Jestliže nekonečný masový objekt byl existovat, nějaký předmět konečné hmoty by byl přitahovaný s nekonečnou sílou (a od této doby zrychlení) nekonečným masovým objektem, který není co my můžeme pozorovat to ve skutečnosti.

Toto stanovisko neznamená, že nekonečno nemůže být použito ve fyzice. Pro výhodu příčina, vypočítavosti, rovnice, teorie a přiblížení často používají nekonečnou řadu, nespoutané funkce, etc., a smět zahrnovat nekonečná množství. Fyzici nicméně vyžadují to konečný výsledek být fyzicky významný. Na kvantovém poli infinities teorie vyvstávají která potřeba být interpretován v takový cesta jak vést k fyzicky významnému výsledku, proces volal renormalization.

Nekonečno v kosmologii

Velmi zajímavý problém je zda skutečné nekonečno existuje v našem fyzickém vesmíru: Být tam nekonečně mnoho hvězd? Vesmír má nekonečnou hlasitost? Dělá prostor “pokračovat navždy”? Toto je důležitá otevřená otázka kosmologie. Si všimnout toho otázka bytí nekonečný je logicky oddělený od otázky mít hranice. Dvojrozměrný povrch Země, například, je konečný, přesto má žádnou výhodu. Tím, že jde/plaví se/řídí rovný dlouho dost, vy se vrátíte k přesnému bodu, ze kterého vy jste vyjeli. Vesmír, přinejmenším v principu, směl mít podobnou topologii; jestliže vy letíte s vaší kosmickou lodí rovný dopředu dlouho dost, možná vy byste nakonec se vrátili k vašemu startovacímu místě.

Jestliže vesmír je opravdu někdy rozhánění jako věda navrhne pak vy jste mohli nikdy dostat se zpátky do vašeho startovacího místa dokonce na nekonečném časovém měřítku.

Tři druhy infinities

Vedle matematického nekonečna a fyzického nekonečna, tam mohl také být filozofické nekonečno. Tam jsou vědci, kteří si myslí, že všichni tři opravdu existovat a tam být vědci, kteří si myslí, že žádný tři existuje. A mezitím jsou různé možnosti. Rudy Rucker, v jeho knize Nekonečno a mysl -- věda a filozofie mysli (1982), přišel na modelový seznam zástupců každý osm možných hledisek. Poznámka pod čárou na p.335 jeho knihy navrhne zvážení následujících jmén: Abraham Robinson, Plato, Thomas Aquinas, L.E.J. Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell, Kurt Gödel a Georg Cantor.

Nekonečno ve vědecké fantastice

Průvodce stopaře ke galaxii obsahuje následující definici nekonečna:

“Větší než největší věc někdy a pak někteří, hodně větší než to, ve skutečnosti opravdu úžasně ohromný, totálně úžasná velikost, skutečný ' senzace, to je velké! ' čas. Nekonečno je jen tak velké to při srovnání, velikost sám dívá se opravdu titchy. Gigantický násobil kolosální násobil překvapivě obrovský je druh pojetí, které my zkoušíme vysvětlit tady.”

Další citace z stopaře je průvodce po státech galaxie: “nekonečno sám se dívá plochý a nezajímavý. Se zlepšovat do noční oblohy zvažuje nekonečno -- vzdálenost je nesrozumitelná a proto bezvýznamný.”

Rudy Ruckerův román Bílé světlo popisuje matematika, který opustí jeho tělo a cestuje do druhu afterworld, který zahrnuje horu jehož Absolute nekonečná výška odpovídá tomu třídy celého ordinals. Georg Cantor dělá vzhled jako charakter a hrdina najde lékařskou prohlídku korelovat pro Cantorovo kontinuum problém.